度規函數

度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設${\displaystyle E}$為${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$上的向量空間，有需要時可以假設為拓撲向量空間。設${\displaystyle C}$為在${\displaystyle E}$內的凸集，且包含原點。那麼${\displaystyle C}$的度規函數${\displaystyle p}$是從${\displaystyle E}$到${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$的函數，定義為

${\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}}$,

如果${\displaystyle C}$為空集，定義${\displaystyle p(x)=+\infty }$。

從定義立刻得到以下結果，可以進一步說明度規函數：

${\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}$

• 若${\displaystyle C}$是在${\displaystyle E}$中的開集，那麼${\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}}$；
• 若${\displaystyle C}$是在${\displaystyle E}$中的閉集，那麼${\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}$。