平面應力

连续介质力学中,如果一种材料的应力矢量在某一特定平面上为零,则这种材料視为处于平面应力(Plane Stress)状态。当这种情况发生在整个结构上时,例如薄板的情况,因为应力状态可以用维数为2的张量来表示(可以用2×2矩阵而不是3×3来表示),应力分析因此被简化。[1]另有与之相关的一个概念:平面应变,通常适用于较厚的结构部件。

平面应力的情况通常发生在薄的平板上,这些平板只受平行于它们的荷载力的作用。在某些情况下,为了应力分析的目的,也可以假定一个弯曲幅度较小的薄板具有平面应力。例如,在受到流体压力下的的薄壁圆柱体就是这种情况。在这种情况下,垂直于侧壁的应力成分与平行于侧壁的应力成分相比可以忽略不计。

在其他情况下,薄板的弯曲应力不能被忽略。人们仍然可以通过使用二维平面来简化分析,但每一点的平面应力的张量必须用弯曲项来补充。

数学定义

在数学上,如果三个主应力 ( 柯西应力张量的特征张量 )之一为零,则材料中某个点的应力为平面应力。 也就是说,在笛卡尔坐标系中的应力张量具有以下形式:

例如,考虑一个长方形的块状材料,沿着它的 方向上的长度分别为 10、40和5 厘米 ,通过在相应的面上施加均匀分布的分别具有大小为10 N和20 N的成对的相反力,使其在方向被拉伸在方向上被压缩。 块内的应力张量为 :

更一般地,如果任意选择前两个坐标轴,但垂直方向的应力为零,则应力张量的形式为:

因此可以用2×2矩阵来表示:

本构方程

参考文献

  1. Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 66-75.
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