平分线

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

${\displaystyle {\because \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.}$

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle {\triangle }OEP}$与${\displaystyle {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).}$

${\displaystyle {\therefore \quad }PE=PF.}$

证毕。

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一点至角两边距离相等，则该点在该角的角平分线上。

即：

已知${\displaystyle {\angle }AOB,P}$为${\displaystyle OM}$上一点${\displaystyle ,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.}$

如果${\displaystyle PE=PF,}$那么${\displaystyle OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OEP}$与${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,}$

${\displaystyle {\therefore \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

证毕。