希洛西七面體

希洛西七面體每個面都與其餘6個面相鄰，因此若需要將這個立體上色且相鄰面皆不同顏色需要7種顏色，因此這個立體也給出了七色定理的下限。這個立體有1個180度的對稱軸。[4][9]

在組成希洛西七面體的面中，有三對全等的凹六邊形面和一個不成對的凸六邊形面，[7]同時這個凸六邊形的面與整個立體的旋轉對稱性相同。[4]

成對的面
不成對的面

若希洛西七面體的最短邊長為單位長，且幾何中心位於原點時，此時14頂點座標分別為：[10][6][11]

(±12,0,12)、(0,±12.6,-12)、(2,-5,-8)、(-2,5,-8)、(3.75,3.75,-3)、(-3.75,-3.75,-3)、(4.5,-2.5,2)、(-4.5,2.5,2)、(±7,0,2)、(7,2.5,2)、(-7,-2.5,2)。

其中，有正負號者代表兩個頂點。在這樣的頂點配置下，希洛西七面體21條邊中共有12個不同的邊長，分別為：${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {2}}}{2}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {106}}}{4}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {18{\sqrt {6}}}{5}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {\sqrt {1514}}{4}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {15{\sqrt {2}}}{2}}}$、${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {21}}}{2}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {23}{2}}}$（2條）、${\displaystyle {\frac {7{\sqrt {206}}}{5}}}$（2條）、${\displaystyle 5{\sqrt {21}}}$（2條）、${\displaystyle 24}$和${\displaystyle {\frac {126}{5}}}$。[7]

未解決的數學問題：是否存在超過7個面的多面體，每個面都與其他所有面相鄰？

希洛西七面體和四面體是已知兩種每個面都與其他面相鄰的非退化多面體。[2][12]若一個f個面的多面體嵌入到有h個孔洞的環面上，且每個面都與其他面相鄰，則其部分的歐拉特徵數會具有以下關係：[2]

${\displaystyle h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}}$

對於零個孔、四個面（h=0、f=4）的四面體和1個孔、7個面（h=1、f=7）的希洛西七面體都滿足這個方程。 下一個可能的整數解是6個孔、12個面（h=6、f=12）具有44個頂點和66個條邊的多面體。然而目前並不知道是否存在實體的多面體滿足這個特性，而非僅能以抽象多面體的方式存在。更一般地，當f除以12餘0、3、4或7時，都能滿足上述等式。[13][14]