巴尼斯G函数

巴尼斯G函数满足差分方程

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z).}$

特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}.}$

因此，

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}.}$

其中，${\displaystyle \Gamma (n)}$表示Γ函数，${\displaystyle K(n)}$表示K函数。

另外，在满足条件${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0}$时，差分方程唯一确定一个G函数。[2].

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right).}$

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right).}$

其中K是一个常数，定义为：

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

其中${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$表示黎曼ζ函数的导函数，${\displaystyle A}$则表示为格莱舍常数。

${\displaystyle \log \,G(z+1)}$可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

${\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}$

其中${\displaystyle B_{k}}$为伯努利数，${\displaystyle A}$为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数${\displaystyle B_{2k}}$习惯写成${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$。）

• Γ函数
• K函数