局部域

设${\displaystyle F}$为非阿基米德局部域，而${\displaystyle |\cdot |}$为其绝对值。关键在下述对象：

• 闭单位球：${\displaystyle \{a\in F:|a|\leq 1\}}$，或其整数环${\displaystyle {\mathcal {O}}}$，这是个紧集。
• 整数环里的单比特素：${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• 开单位球：${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$，这同时是其整数环里唯一的极大理想，也记作${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$。

上述对象与赋值环的构造相呼应；事实上，可证明必存在实数${\displaystyle 0<c<1}$及离散赋值${\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} }$，使得

${\displaystyle \forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|}$.

可取唯一的${\displaystyle c}$使得${\displaystyle v}$为满射，称之为范式赋值。

从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义：一个域${\displaystyle F}$，带离散赋值${\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} }$，使得${\displaystyle F}$成为完备的拓扑域，而且剩余域有限。

这类局部域的行为可由局部类域论描述。

局部域的完整分类如次：

• ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$。这些是阿基米德局部域。
• p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$的有限扩张。这些是特征为零的非阿基米德局部域。
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((T))}$的有限扩张（其中${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$表有q个元素的有限域）。这些是特征非零的非阿基米德局部域。

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre. . Hermann. 1968.