完全扭稜二十面體

完全扭稜二十面體在考克斯特—迪肯符号中可以表示為[1][2]或（β3β5o）[1]。在施萊夫利符號中可以表示為ß{3,5}。在威佐夫記號中可以表示為| 3 3 ⁵⁄₂[3]或| ⁵⁄₂ 3 3[4][5][6]。

完全扭稜二十面體有兩種二面角，分別為三角形面與三角形面的二面角以及五角星面與三角形面的二面角。[12]

其中三角形面與三角形面的二面角約為155.668度：[12]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {5}}}}{3}}\right)\approx 2.716919863\approx 155.668041429^{\circ }}$

而五角星面與三角形面的二面角約為161.02度：[12]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(15-2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {5\left(6{\sqrt {5}}-13\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.810374243\approx 161.022582986^{\circ }}$

若完全扭稜二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：[12][3]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {13+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {2\left(51+23{\sqrt {5}}\right)}}}}{4}}\approx 1.4581903307387}$

完全扭稜二十面體的凸包是一個非均勻的截角二十面體，其六邊形面由等角但不等邊的六邊形組成。[13]

截角二十面體 (正多邊形面)

凸包 (等角六邊形面)

完全扭稜二十面體

完全扭稜二十面體的頂點座標為下列座標的偶置換：[12]

${\displaystyle \left(\pm \left(1-\varphi +\alpha \right),0,\pm \left(3+\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi -1+\alpha \right),\pm 2,\pm \left(2\varphi -1+\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi +1+\alpha \right),\pm 2\left(\varphi -1\right),\pm \left(1+\varphi \alpha \right)\right)}$

其中，${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$為黃金比例，而${\displaystyle \alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}}$。