威尔逊定理

如果 ${\displaystyle p}$ 不是質數，那么它的正因数必然包含在整数 ${\displaystyle 2,3,4,\cdots ,p-1}$ 中，因此 ${\displaystyle \gcd((p-1)!\ ,p)>1}$ ，所以不可能得到 ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$。

若${\displaystyle p}$是質數，取集合 ${\displaystyle A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}}$， 则${\displaystyle A}$构成模${\displaystyle p}$乘法的缩系，即任意 ${\displaystyle i\in A}$，存在 ${\displaystyle j\in A}$，使得：

${\displaystyle (ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

這幾乎說明${\displaystyle A}$中的元素恰好两两配对。僅有滿足

${\displaystyle x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

的元素${\displaystyle x}$是例外。

上式解得

${\displaystyle x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$

或

${\displaystyle x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}}$

其余两两配对，故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ 1\times (p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$

若${\displaystyle p}$不是質數且大于4， 则易知有${\displaystyle d=\gcd[p,(p-1)!]=p,}$

故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$