大步小步算法

群论中,大步小步算法英語:)是丹尼尔·尚克斯发明的一种中途相遇算法,用于计算离散对数或者有限阿贝尔群[1]其中离散对数问题在公钥加密领域有着非常重要的地位。

许多常用的加密系统都基于离散对数极难计算这一假设——计算越困难,这些系统提供的数据传输就越安全。增加离散对数计算难度的一种方法,是把密码系统建立在更大的群上。

理论

这是一种空间换时间的算法,实质上是求解离散对数的朴素算法(枚举并试乘)的一个相当简单的改进。

给出一个 循环群 、该群的一个生成元 和一个元素 。试找到一个整数 满足

大步小步算法把 代换成:

于是有:

该算法先对 的不同取值计算出 的值,然后固定一个 ,并对 尝试不同的取值,带入上面同余式的右边,看是否与某个(已经预先算出的)同余式左边的值相匹配。

算法

给出C++17版本的代码:

#include <cmath>
#include <cstdint>
#include <unordered_map>

std::uint32_t pow_m(std::uint32_t base, std::uint32_t exp, std::uint32_t mod) {
        // 这里需要实现快速幂算法
}


///计算满足 g^x % mod == h 的x
std::optional<std::uint32_t> babystep_giantstep(std::uint32_t g, std::uint32_t h, std::uint32_t mod) {
        const auto m = static_cast<std::uint32_t>(std::ceil(std::sqrt(mod)));
        auto table = std::unordered_map<std::uint32_t, std::uint32_t>{};
        auto e = std::uint64_t{1}; // 临时值可能大于32位整数的范围
        for (auto i = std::uint32_t{0}; i < m; ++i) {
                table[static_cast<std::uint32_t>(e)] = i;
                e = (e * g) % mod;
        }
        const auto factor = pow_m(g, mod-m-1, mod);
        e = h;
        for (auto i = std::uint32_t{}; i < m; ++i) {
                if (auto it = table.find(static_cast<std::uint32_t>(e)); it != table.end()) {
                        return {i*m + it->second};
                }
                e = (e * factor) % mod;
        }
        return std::nullopt;
}

延伸阅读

  • H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, Springer, 1996.
  • D. Shanks, Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symp. Pure Math. 20, pages 415—440. AMS, Providence, R.I., 1971.
  • A. Stein and E. Teske, Optimized baby step-giant step methods, Journal of the Ramanujan Mathematical Society 20 (2005), no. 1, 1–32.
  • A. V. Sutherland, Order computations in generic groups页面存档备份,存于, PhD thesis, M.I.T., 2007.
  • D. C. Terr, A modification of Shanks’ baby-step giant-step algorithm, Mathematics of Computation 69 (2000), 767–773. doi:10.1090/S0025-5718-99-01141-2

参考资料

  1. Daniel Shanks, , In Proc. Symp. Pure Math. 20 (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1971, 20: 415—440 (英语)
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