圖蘭·帕爾

1934年，圖蘭簡潔地證明了哈代－拉馬努金定理。該定理最先由哈代和拉馬努金於1917年證明，其斷言正整數${\displaystyle n}$的互異質因數個數${\displaystyle \omega (n)}$與${\displaystyle \log \log n}$很接近，其中${\displaystyle \log }$為自然對數。圖蘭利用圖蘭篩，給出了新的簡潔證明。從概率的角度看，他估計了${\displaystyle \omega (n)}$離${\displaystyle \log \log n}$的方差。豪拉斯·加博爾評論說：「該證明的重要性在於其創始了概率數論。」[9]^:16圖蘭－庫比柳斯不等式為上述結果的推廣。[8]^:5 [9]^:16

圖蘭對質數在等差數列中的分佈感興趣。其稱不同剩餘類中質數分佈參差不齊的情況為「質數賽跑」（英語：）。[8]^:5圖蘭與斯塔尼斯瓦夫·克納波夫斯基合作，證明了有關切比雪夫偏差的結果。圖蘭亦有研究黎曼猜想，並為此發明了冪和法（見下段）。艾狄胥稱圖蘭為不信黎曼猜想的『不信者』、『異教徒』。[3]^:3

圖蘭在分析方面有不少工作與其數論研究密切相關。此外，其證明了圖蘭不等式，描述不同階數的勒壤得多項式的值的大小，又與艾狄胥合作證明了艾狄胥－圖蘭不等式。

艾狄胥談及圖蘭：「1940年至1941年間，他開創了圖論中的極值問題這個新領域，該領域現為組合學成長最快的分支。」[3]^:4弗龍克爾·彼得談及圖蘭「因為是猶大人而被捉進集中營。有紙和筆就能做數學，但在營中甚麼也沒有。所以他創造了甚麼都不需要的組合數學。」[10]

艾狄胥和弗龍克爾提及的領域現稱為極值圖論。圖蘭在該方面最為人熟知的成果為圖蘭定理，其給出頂點數為${\displaystyle n}$且無完全子圖${\displaystyle K_{r+1}}$的圖的邊數最大值。他構造了圖蘭圖${\displaystyle T_{n,r}}$，其為完全二部圖的推廣，且邊數取得上述定理中的最大值。克瓦里－紹什－圖蘭定理給出已知頂點數且無完全二部子圖${\displaystyle K_{t,t}}$的二部圖邊數的上界。此外，圖蘭提出了圖蘭磚廠問題，即求完全二部圖的交叉數。

圖蘭發明冪和法，以研究黎曼猜想。[9]^:9–14該方法給出型如

${\displaystyle \max _{\nu =m+1,\dots ,m+n}\left|\sum _{j=1}^{n}b_{j}z_{j}^{\nu }\right|}$

的和的下界，因而得名。[11]^:319

該方法在解析數論、複分析、數值分析、微分方程、超越數論等方面皆有應用。此外，還適用於估計函數在圓盤內的零點數目。[11]^:320