唐纳森-托马斯理论

代数几何中,唐纳森–托马斯理论是关于唐纳森–托马斯不变量的理论。给定卡拉比–丘三维流形上的模空间,其唐纳森–托马斯不变量是其点的虚数,即上同调1类对虚基类的积分。唐纳森–托马斯不变量是卡森不变量全纯类似物,由Simon Donaldson and Richard Thomas 1998引入。唐纳森–托马斯不变量与代数三维流形的格罗莫夫-威滕不变量及Rahul Pandharipande、Thomas提出的稳对理论有密切联系。

唐纳森–托马斯理论的物理动机是弦论规范场论中出现的某些BPS态[1]:5这是因为不变量取决于所研究的模空间派生范畴布里奇兰稳定条件。从本质上讲,其对应于卡拉比-丘流形的凯勒模空间中的点,如同镜像对称猜想中的考虑,而由此产生的子范畴是相应的超共形场论的BPS态范畴。

定义与例子

格罗莫夫-威滕不变量的基本思想是研究黎曼曲面到光滑目标的伪全纯映射,以探测空间的几何。所有映射的模叠都有虚基类,其上的相交理论产生的数值不变量通常包含枚举信息。唐纳森-托马斯理论的方法也是通过方程,研究代数三维流形中的曲线,确切地说是用空间上的理想层进行研究。这一模空间也允许有虚基类,并产生某些可枚举的数值不变量。

在格罗莫夫–威滕理论中,映射可以是域曲线的多重覆盖与塌陷分量(collapsed component),而唐纳森-托马斯理论则允许层中包含零势信息,不过这些都是整值不变量。Davesh Maulik、安德烈·奥昆科夫、Nikita Nekrasov、Rahul Pandharipande等人提出了更深层的猜想,即代数三维流形的格罗莫夫–威滕理论和唐纳森-托马斯理论实际上等价。[2]更具体地说,在适当改变变量后,它们的生成函数相等。对于卡拉比-丘三维流形,唐纳森-托马斯不变量可表为模空间上的加权欧拉特征。最近,这些不变量、母题霍尔代数(motivic Hall algebra)与量子体上的函数环之间也出现了联系。

  • 五次三维流形上的线的模空间是含2875个点的离散集。点的虚拟数就是点的实际数,因此模空间的唐纳森-托马斯不变量就是2875。
  • 相似地,五次上的圆锥的模空间的唐纳森-托马斯不变量是609250。

定义

对于卡拉比-丘三维流形[3][4]与固定的上同调类,有相关的相容层(陈示性类)的模。一般来说,这是个无限类的非分离亚廷叠,很难在其上定义数值不变量。相反,有些开放子叠参数化了这种相容层,具有施加的稳定性条件,即稳定层。这些模叠具有更好的性质,比如被有限类型分离。唯一的困难在于,由于存在固定层的变形阻碍,它们可能具有不良的奇点。特别地

由于是卡拉比-丘流形,所以塞尔对偶性意味着

其给出了维数为0的完美阻碍理论。特别地,这意味着相关的虚基类

的同调度为,然后可以定义DT不变量

其取决于稳定性条件和上同调类。托马斯证明,对光滑族,上述不变量也不变。最初研究者选择的是吉赛克稳定性条件,近年来又根据其他稳定条件对其他DT不变量进行了研究,从而得出了“穿墙公式”(wall-crossing formula)。[5]

事实

  • 模空间M的唐纳森-托马斯不变量等于M的加权欧拉示性数。权函数将M中的每点都有类似的超平面奇点的米尔诺数

推广

  • 我们不考虑层的模空间,而考虑导出范畴对象的模空间。这给出了计算卡拉比-丘三维流形的稳对的Pandharipande–托马斯不变量。
  • 搜门不考虑整值不变量,而考虑母题不变量。

另见

参考文献

  1. Bridgeland, Tom. . 2006-02-08. arXiv:math/0212237可免费查阅.
  2. Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounkov, A.; Pandharipande, R. . Compositio Mathematica. 2006, 142 (5): 1263–1285. S2CID 5760317. arXiv:math/0312059可免费查阅. doi:10.1112/S0010437X06002302.
  3. Szendroi, Balazs. . 2016-04-27. arXiv:1503.07349可免费查阅 [math.AG].
  4. Thomas, R. P. . 2001-06-11. arXiv:math/9806111可免费查阅.
  5. Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan. . 2008-11-16. arXiv:0811.2435可免费查阅.
  • Donaldson, Simon K.; Thomas, Richard P., , Huggett, S. A.; Mason, L. J.; Tod, K. P.; Tsou, S. T.; Woodhouse, N. M. J. (编), , Oxford University Press: 31–47, 1998, ISBN 978-0-19-850059-9, MR 1634503
  • Kontsevich, Maxim, (PDF), Mathematische Arbeitstagung, Bonn, 2007 [2023-11-16], (原始内容存档 (PDF)于2023-11-16)
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