反扭稜大星形十二面體

在反扭稜大星形十二面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3.3.3.3.3)[8]來表示。

與扭稜大星形十二面體不同，反扭稜大星形十二面體中的五角星與周邊面相接的方式相反，因而構成了一個幾何上不同，但拓樸上相同的結構。其拓樸結構也與扭棱十二面体相同。[9]

扭稜大星形十二面體	反扭稜大星形十二面體
將扭稜大星形十二面體的頂角視覺化的圖形	將反扭稜大星形十二面體的頂角視覺化的圖形

反扭稜大星形十二面體在考克斯特—迪肯符号中可以表示為[10][11]，在施萊夫利符號中可以表示為sr{⁵⁄₃,3}，在威佐夫記號中可以表示為| 5/3 2 3[3][6][10][12][4]。

若反扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：[2]

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots }$

其中${\displaystyle x}$是${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$的實根。 以${\displaystyle R^{2}}$為變數的六次方程

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。

反扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：[1]

${\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}$和

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}$，

帶有偶數個正號，其中

${\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}$

且

${\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$為黃金比例、 ${\displaystyle \xi }$是方程式${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}$的正實根，約為1.2224727。 若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到反扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。