原时

在狭义相对论，原时的定义如下：

${\displaystyle \tau =\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right)}}dt}$,

此处，${\displaystyle v(t)}$是在协调时${\displaystyle t}$的座标速度，${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$是空间中的正交座标。

如果${\displaystyle t}$、${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$都用一个参量${\displaystyle \lambda }$的参数，公式可以简化为：

${\displaystyle \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right)}}d\lambda }$.

以微分的型式可以写成路径的积分：

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$,

此处，${\displaystyle P}$是时钟在时空中的路径。

为让事件简化，在狭义相对论中的惯性运动可以转化成对瞬时座标成常数比的空间座标。这进一步简化了原时方程序：

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta t^{2}-\Delta x^{2}/c^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}-\Delta z^{2}/c^{2}}}}$,

此处，${\displaystyle \Delta }$的意思是在两个事件的变化。

狭义相对论的方程序是后续的一般状况中的特例。

在双胞胎佯谬里。Alice所处座标系统是惯性座标。她座标在所处系统内从${\displaystyle (0,0,0,0)}$移动到${\displaystyle (10{\text{yr}},0,0,0)}$：即她在原点${\displaystyle x=y=z=0}$上停留10年。她的原时是：

${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {\Delta t_{A}^{2}}}=10{\text{yr}}}$

在狭义相对论里，只有在处于静止的座标，原时和座标时间一样。

如果另外一人Bob，在Alice的座标内在${\displaystyle (0,0,0,0)}$出发，以0.8c运动5年到${\displaystyle (5{\text{yr}},4{\text{ly}},0,0)}$。到达后Bob加速（忽略加速过程）、反方向运动再移动5年回Alice的原点${\displaystyle (10{\text{yr}},0,0,0)}$。前后两段原时分别是：

${\displaystyle \Delta \tau _{B}={\sqrt {\Delta t_{B}^{2}-\Delta x_{B}^{2}}}=3{\text{yr}}}$

因此在Bob来回运动原时差是6年。这正等于在Bob座标里经历的座标时间。这表示原时方程序里自动包括了狭义相对论的时间扩张等作用。事实上在狭义相对论时空里运动的对象经历的原时差是：

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta t^{2}-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}\Delta t^{2}-{\frac {v_{y}^{2}}{c^{2}}}\Delta t^{2}-{\frac {v_{z}^{2}}{c^{2}}}\Delta t^{2}}}=\Delta t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

正是时间扩张公式。

原时方程序有一个添加的史瓦西解：

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-2m/r\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-2m/r\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\theta ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}}}$,