卡茨-穆迪代数

假定以下材料：

• ${\displaystyle C=(c_{ij})}$ ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) ${\displaystyle C=(c_{ij})}$ r.
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ———— 一個 2n − r維複向量空間 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ———— ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$的對偶空間
• ${\displaystyle \alpha _{i}\ }$ ————${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根(co-root)
• ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$ ————${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ 中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
• 上述各元滿足 ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}(\alpha _{j})=c_{ij}}$.

卡茨-穆迪代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 由符號 ${\displaystyle e_{i}}$ , ${\displaystyle f_{i}}$ (i=1,..,n) 及空間${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 生成：

以上各元滿足以下關係：

• ${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\ }$
• ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0\ }$ ；其中 ${\displaystyle i\neq j.}$
• ${\displaystyle [e_{i},x]=\alpha _{i}^{*}(x)e_{i}}$, 其中${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}$
• ${\displaystyle [f_{i},x]=-\alpha _{i}^{*}(x)f_{i}}$, 其中 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}$
• ${\displaystyle [x,x']=0\ }$ ；其中 ${\displaystyle x,x'\in {\mathfrak {h}}.}$
• ${\displaystyle [e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]={\mathcal {C}}_{e_{i}}^{1-c_{ij}}\;e_{j}=0}$ ;其中${\displaystyle e_{i}.\ }$出現 ${\displaystyle 1-c_{ij}\ }$ 次;
• ${\displaystyle [f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]={\mathcal {C}}_{f_{i}}^{1-c_{ij}}\;f_{j}=0}$ ;其中${\displaystyle f_{i}.\ }$出現 ${\displaystyle 1-c_{ij}\ }$ 次;

(其中 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}\;y=[x,y]}$.)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。
• 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g}$

其中 ω 是 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$的一元，

則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$的冪为零，e_i的冪为α*_i，而f_i的冪为−α*_i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若 ${\displaystyle i\neq j}$ ) 則 ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0\ }$ 一條件即指 α*_i 都是簡單根。

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 有限維 單李代數 (S 正定)
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 是 仿射李代數 (S 正半定)
• 雙曲 (S 不定)

S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.

• 外爾-卡茨特徵標公式
• 广义卡茨-穆迪代数

• <<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
• Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References （页面存档备份，存于）