加权射影空间

代数几何中，加权射影空间 $\mathbf {P} (a_{0},\ \ldots ,\ a_{n})$ 是与分次环 $k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}]$ 相关联的射影簇 ${\rm {Proj}}(k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}])$ ，其中簇x_k的度为a_k。

性质

有正整数d，则 $\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a-n)$ 与 $\mathbf {P} (da_{0},\ da_{1},\ \ldots ,\ da_{n})$ 同构。这是所谓射影结构的性质；从几何学角度看，它对应于d元委罗内塞嵌入。因此，在不失一般性的前提下，可以假设 $a_{i}$ 的度数没有公因子。

假设 $a-0,\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$ 没有公因子，且d是所有 $i\neq j$ 的 $a_{i}$ 的公因子，则 $\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$ 与 $\mathbf {P} (a_{0}/d,\ldots ,\ a_{j-1}/d,\ a_{j},\ a_{j+1}/d,\ldots ,\ a_{n}/d)$ 同构（其中d与 $a_{j}$ 互质；否则同构不成立）。因此可以进一步假设，任何由n个变量组成的集合 $a_{i}$ 都没有公因子。称这样的加权射影空间“结构良好”（well-formed）。
加权射影空间位移的奇异点是循环商奇异点。
加权射影空间是Q法诺簇[1]，也是环面簇。
加权射影空间 $\mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})$ 与射影空间对对角作用的 $a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}$ 阶的单位之根的积群的商同构。[2]

参考文献

M. Rossi and L. Terracini, Linear algebra and toric data of weighted projective spaces. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012), no. 4, 469--495, proposition 8
This should be understood as a GIT quotient. In a more general setting, one can speak of a weighted projective stack. See https://mathoverflow.net/questions/136888/.

Dolgachev, Igor, , , Lecture Notes in Math. 956, Berlin: Springer: 34–71, 1982, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986, doi:10.1007/BFb0101508
Hosgood, Timothy, , 2016, Bibcode:2016arXiv160402441H, arXiv:1604.02441 
Reid, Miles, (PDF), 2002 [2023-11-27], （原始内容存档 (PDF)于2023-06-02）

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] M. Rossi and L. Terracini, Linear algebra and toric data of weighted projective spaces. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012), no. 4, 469--495, proposition 8

[2] This should be understood as a GIT quotient. In a more general setting, one can speak of a weighted projective stack. See https://mathoverflow.net/questions/136888/.