八格骨牌

八格骨牌(Octomino),又稱八連塊,是一種多格骨牌,每塊以全等正方形連成,鏡射旋轉視作同一種共有三百六十九種。

所有的八格骨牌

八格骨牌是最小的骨牌格數,所有的八種可能的對稱形式都至少各有一個n格骨牌,下一個這樣的骨牌格數是十二格骨牌,而十二格骨牌也是最小的骨牌格數,所有的八種可能的對稱形式都至少各有一個中間沒有洞的n格骨牌。

  1. 兩條平行於格線的對稱軸,跟兩條與格線夾45度的對稱軸,以及90度中心對稱點,共有1種(藍綠色)。
  2. 兩條平行於格線的對稱軸,以及180度中心對稱點,共有4種(紫色)。
  3. 兩條與格線夾45度的對稱軸,以及180度中心對稱點,共有1種(橘色)。
  4. 一條平行於格線的對稱軸,共有23種(紅色)。
  5. 一條與格線夾45度的對稱軸,共有5種(綠色)。
  6. 90度中心對稱點,共有1種(黃色)。
  7. 180度中心對稱點,共有18種(藍色)。
  8. 無任何對稱性(包含對稱軸與對稱點),共有316種(灰色)。

平面填充

所有369種八格骨牌中,有320種滿足康威準則,因此都可以只用同一種八格骨牌,來填滿整個平面,而另外49種八格骨牌中,有23種可以只用同一種八格骨牌拼成一個滿足康威準則的東西,所以也可以只用該種八格骨牌來填滿整個平面,因此,在全部369種八格骨牌中,總共有343種可以只用同一種八格骨牌來填滿整個平面,[1]而有26種(包括中間有洞的那6種)不能只用同一種八格骨牌來填滿整個平面。[2]

雖然全部的八格骨牌一共有2952格,但是並沒有辦法把它們拼成長方形,儘管它們符合肢解西洋棋盤問題的條件(有233種八格骨牌有偶數個黑格子跟偶數個白格子,而有136種八格骨牌有奇數個黑格子跟奇數個白格子,黑格子跟白格子的總數都是偶數,而有2952格的長方形都有1476(偶數)個黑格子跟1476(偶數)個白格子,因此可能可以排出來,與四格骨牌六格骨牌的情形不同),但是因為有6個八格骨牌中間有洞,所以八格骨牌不管怎麼排,中間一定都至少會有6個洞,但是當然長方形並沒有洞,所以不可能排得出來。 然而,全部369块八格骨牌能拼成边长分别为3,4,5,7,8,9,11,12,12,13,13,15,16,17,19,20,21的17个正方形,其中奇数边长的正方形中心有一格洞。[3]

参考资料

  1. Rhoads, Glenn C. . Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005, 174 (2): 329–353. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002可免费查阅.
  2. Gardner, Martin. . Scientific American. August 1975, 233 (2): 112–115.
  3. https://polyominoes.blogspot.com/2020/12/squares-part-2-this-time-its-octominoes.html
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