世界面

我们从玻色弦的经典表述开始。

首先固定一个d维平坦时空（d维闵可夫斯基时空）M，作为弦的环绕空间。

世界面${\displaystyle \Sigma }$是嵌入曲面，即嵌入的2维流形${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$，使诱导度量处处有符号${\displaystyle (-,+)}$。因此，可局部定义坐标${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，其中${\displaystyle \tau }$是类时间坐标，${\displaystyle \sigma }$是类空间坐标。

弦分开闭。开弦世界面的拓扑是${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$，其中${\displaystyle I:=[0,1]}$是闭区间，允许全局坐标图${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，其中${\displaystyle -\infty <\tau <\infty ,\ 0\leq \sigma \leq 1}$。

闭弦世界面的拓扑[3]是${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$，允许“坐标”${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，且${\displaystyle -\infty <\tau <\infty ,\ \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$。即，${\displaystyle \sigma }$是周期坐标，标识为${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$。冗余描述（使用商）可通过选择代表性的${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$来去除。

世界面为定义泊里雅科夫作用量，配备了世界面度量[4]${\displaystyle \mathbf {g} }$，亦有符号${\displaystyle (-,+)}$，但与诱导度量无关。

由于外尔变换被认为是度量结构的冗余，也可认为世界面配备了度量${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$的共形类。则${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$定义了共形流形的数据，带有符号${\displaystyle (-,+)}$。