上积

奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环${\displaystyle H^{*}(X)}$上的积。

构造始于上链之积：若${\displaystyle \alpha ^{p}}$是p上链，且${\displaystyle \beta ^{q}}$是q上链，则

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

其中σ是奇异(p + q) 单纯形，${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ 是S张成的单纯形规范嵌入${\displaystyle (p+q)}$单纯形，后者的顶点索引为${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$。

非正式地，${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$是σ的第p个正面（front face），${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$是σ的第q个背面（back face）。

上链${\displaystyle \alpha ^{p}}$与${\displaystyle \beta ^{q}}$的上积的上边缘（coboundary）为

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

上同调中的上积满足以下特性

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面：若

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

是连续函数，

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

是上同调中的诱导同态，则

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

对${\displaystyle H^{*}(Y)}$中所有类α、β。也就是说，f ^*是（分次）环同态。

可将上积${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$视作由下面的组合诱导而来：

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

以${\displaystyle X}$与${\displaystyle X\times X}$的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$诱导了映射${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$，但还会诱导映射${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$；${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 ${\displaystyle S^{1}}$相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。

梅西积推广了上积，允许定义“高阶环绕数“，即米尔诺不变量。

上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

• 奇异同调
• 同调
• 下积
• 梅西积

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0