Θ函数

雅可比Θ函数取二变量${\displaystyle z\,}$与${\displaystyle \tau \,}$，其中${\displaystyle z\,}$为任何复数，而${\displaystyle \tau \,}$为上半复平面上一点；此函数之定义为：

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}}$。

若固定${\displaystyle \tau \,}$ ，则此成为一周期为${\displaystyle 1\,}$的单变量${\displaystyle (z)\,}$整函数的傅里叶级数：

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$ 。

在以 ${\displaystyle \tau \,}$ 位移时，此函数符合：

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau$ ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )} ；

其中 ${\displaystyle a\,}$与${\displaystyle b\,}$为整数。

可定义辅助函数：

${\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).}$

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量${\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}$替换了${\displaystyle \tau \,}$，而称本条目中的Θ为${\displaystyle \theta _{3}\,}$，${\displaystyle \vartheta _{01}}$为${\displaystyle \theta _{0}\,}$，${\displaystyle \vartheta _{10}}$为${\displaystyle \theta _{2}\,}$，${\displaystyle \vartheta _{11}}$为${\displaystyle -\theta _{1}\,}$。

若设${\displaystyle z=0\,}$，则我们可从以上获得四支单以${\displaystyle \tau \,}$为变量之函数，其中${\displaystyle \tau \,}$取值于上半复平面。此等函数人称「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由「雅可比 恒等式」可得：

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$,

是为四次费马曲线。

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

${\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,}$

则

${\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )}$

我们可用变量${\displaystyle w\,}$与${\displaystyle q\,}$，代替${\displaystyle z\,}$与${\displaystyle \tau \,}$，来表示ϑ。设${\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,}$而${\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}$。则ϑ可表示为：

${\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

而辅助Θ函数可表示为：

${\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.}$

此表达式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。

雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数${\displaystyle w\,}$和${\displaystyle q\,}$，其中${\displaystyle |q|<1\,}$而${\displaystyle w\neq 0\,}$，则

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编着的《数论导引》（英语：）。

若用nome变量${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,}$与${\displaystyle w=e^{\pi iz}\,}$表示，则有：

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

由此得到Θ函数的积公式：

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)}$

三重积等式左边可以扩展成：

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),}$

即

${\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}$。

这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

${\displaystyle \vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}$

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}$

黎曼常用关系式

${\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}}$ ；

而此积分于替换${\displaystyle s\to 1-s}$下不变。 ${\displaystyle z\,}$非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式，因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c}$

其中二次微分相对于z，而常数c使${\displaystyle \wp (z)}$的罗朗级数（于 z = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

设η为戴德金η函数。则

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}}$.

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

${\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}$

此解此下方程：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)}$。

于t = 0时，Θ函数成为「狄拉克梳状函数」（Dirac comb）

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$，

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))}$

其中Zⁿ为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)}$

中，R_F(k) 称为此模形式之「表示数」（representation numbers）。

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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